bet365娱乐场官网芬斯勒几何中之内积不是概念在切丛上的。假定时空之心地具有如下Finsler形式。

研究生最后之平等年多直以研究之虽是Finsler几何及其上的大体。
  然后便一直发这货似乎特别无直觉。。。
  最给丁发不对头的,就是对比黎曼几哪,芬斯勒几哪中的内积不是概念在切丛上之,而是定义在节丛上的,这个那个无自。
  所以,就直以设想怎么打同栽了两样之角度来干这题目。
  这虽是一样客有关的笔录。

过年在家,为了给这个年来硌年味,而且也为纪念这快要去北漂,所以打算开点东西,于是便出矣就篇文章。


哦,虽然发出好多乘除,但中心要一个脑洞,一个Toy Theory。

而我们早就闹矣微分结构,但还尚未度量结构。
  那么这我们好获什么呢?
  协变矢量Vμ跟逆变矢量Aμ早晚是得部分,所以我们好拿走各种逆变协变以及混合张量。我们呢还时有发生协变基矢和逆变基矢的夹关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,我们可以认为它们可是大凡同一个东西的简单种植不同表达,所以不妨就就此“矢量”来替。
  矢量在切空间中之表示即是协变矢量,而以余切空间受到之意味即是逆变矢量。
  以只有微分结构吧没有度量结构的上,我们尚得定义一种植“场”,便是于各一点达到且足以拿TM(m,
n)中之素映射到TM(p,
q)中,即好用一个m阶协变n阶逆变的张量映射到一个p阶协变q阶逆变的张量,或者下前的双料之后的意来说,便是拿一个m+n阶张量映射为一个p+q维张量。
  在坐标变换下,上述情节还足以享有鲜明的易规则而未见面挑起歧义。
  但,比较好玩的凡若是未坐标变换,比如对准就一般的映射F:
TM(1)→TM(1),似乎就是生不便推广至自由的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么可以在操作意义及找到合理之外推。


下面,在如此的空中及引入度量结构,且非要求该度量是黎曼的,从而得以是芬斯勒度量。

若是时空之心地具有如下Finsler形式:

胸怀和内积的涉是挺幽默的。
  可以说,内积包含了胸怀,因为矢量Vμ暨本人的内积就是她的模长的平方,这是内积与胸襟的契合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  于风的Finsler几何中,从度量到内积的获取方式是这样的:

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  对于黎曼度量,上市左侧的度规张量只是位置xμ的函数,从而和矢量yμ无关,因此流形切空间中矢量的内积只跟切空间所在位置的度规张量相关,也就是说内积是概念在切丛上的。
  但于Finsler几哪中,左侧的度规张量不但与位置xμ系,还与矢量yμ有关,从而现在矢量之间的内积不但和与内积的有数个矢量以及切空间所在位置相关,还和某第三正的矢量相关,从而内积是概念在该节丛上的,而休切丛。
  通过简单的演绎我们得了解,如果如力保传统内积的概念,那么只能拿内积放到节丛上,从而此题材无法避免。
  但,内积的定义自己是自更被得来的,而原来的涉被定义在切丛还是节丛上并没有强烈的说明,虽然经历中都是概念在切丛而休节丛上之,所以我们得以适用地放弃某些既定经验,特别是从来不写篇的涉,来布局一个定义在节丛上的内积。
  可,反过来说,我们为得舍一些既定的篇章经验,从而选择任何一样长条路。
  这么一来,问题即使好有意思了——假定内积不是本着如的,会如何?

其间第一有的凡是人情的黎曼型度量,后者也对黎曼型度量的离,从而组合Finsler度量。

自纯粹几何直观来说,内积可以吃发表为这么一个物:
  矢量V1μ在矢量V2μ方向及的黑影长度和V2μ长度的积压,就是V1μ和V2μ的内积。
  采用这几乎哪直观的概念,在黎曼几乎何中,我们爱证明V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是同的,从而内积是针对如之。
  但,在Finsler几哪里下,这种针对称性就叫打破了:

这么的Finsler度量一般的话是可怜麻烦直接求解的,于是我们这边而:h非常小,从而具有高阶项都可忽略

  在斯概念着,“投影”被定义为从V2μ的端点到V1μ齐有一样点之偏离最缺少,则该点就是V2μ到V1μ的影子位置。值得注意的凡,对于极端一般化的Finsler流形,上述的大方向要转的话,将受起全不同的定义结果,因为以无限一般化的Finsler度量中,并无求如下等式的树立:

这样的话,会吧计算带来一定之造福,比如度量的平方(这个当Finsler几何中于度量本身又常用):

  当然,我们还可择以上述定义做一个“代数化”,考虑一个海阔天空小变,从而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么此时上述内积的定义在无限小范围外可以于发表为益简明之花样:

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以Riemann几哪中,上述两栽样式的定义是相当价格的。
  如达到定义后,我们本来就是得了从V1μ到V2μ的内积的概念,且这样定义之内积虽然是休对如的,但可抱几哪直观——虽然几何直观这个要求在审的几乎哪法看来是一个谣言,但自己个人认为比较拿内积从切丛搬至节丛要负谱。
  现在内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的照耀(并非由TM(2)→TM(0)的照),并记否〈V1μ,
V2μ〉。这样的内积不满足对称性,而且一般为不满足双线性,因为她是莫大方向依赖的——这也是Finsler几何和Riemann几哪太酷的别,Riemann几何从可以当一部分通过坐标变换来成Minkowski几何,后者是样子无关之。但非Riemann的Finsler几哪无论如何都未可能由此坐标变换变成Minkowski几哪里,从而也就是决然是大势依赖的了——在传统Finsler微分流形中,这种趋势依赖性体现于内积被定义在节丛上,从而我们一直犹需一个老三正矢量来作“依赖方向”,而本这种倾向依赖性体现在内积算符的未对如跟非双线性上。


每当是基础及,我们当然好以余切丛上啊定义内积,只要通过协变矢量与逆变矢量的对偶性即可。
  可是由于内积本身强烈依赖让矢量,从而对张量来说就是无存内积的客体外推。
  事实上,在Riemann几哪里中,内积原本是概念在TM(1)×TM(1)上之,但由那个拿内积外推到了度规张量,后者的意义远较“内积”本身宽泛与增长,从而令TM(m)→TM(m-2)的投成为可能。
  因此,度规本身是一个比较内积具有更丰富内涵之几哪实体。
  而如今,我们拥有的但是是一个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),从而并无可知做如此简单的外推,因为这算符既然不满足线性要求,那即便无可知透过简单的上空直积来取推广。
  也这,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)指定两只依靠标缩并坐博得TM(m-1,
n-1),这里施了进行)必须使与内积不同之概念方式,并确保在返Riemann几哪里后可以后退及Riemann几何的结果。
  对如此的“缩并”目前个人觉得于恰当的凡经过对指标球的积分来取,只不过对于积分体元来说,似乎尚从来不于出一个较好的概念。
  很扎眼,在就内积失去对如和双线性这有限只至关重要特点后,度规张量也错过了概念,而缩并也就算和内积分道扬镳了。这里充满了各种陷阱,每一个还格外有或是的这种内积的定义方式失效,从而只能回去用内积定义在节丛从而持续维持对称性与双线性的长但还要不得不引入第三方矢量的弱项,这个Finsler微分流形的套路上来。

下一场,我们来拘禁Clifford代数中的一个性:

生了内积后,我们自然而咨询这么一个题材:现在的维系是啊?
  所谓联络,是用有点切空间被的矢量输运到相邻点切空间中的一个映射,从而得以吃这么标记:

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  我们得更进一步看关系对切空间被的矢量来说是线性的,从而就闹:

此地Q是一个二次型,且爱看其就是量的平方(假定Clifford代数定义在一个装有度量结构的几哪流形上)。

  于怎样规定联络的切实形式方面,Riemann几哪里用的适配条件是对准度规张量的协变微分为零星。可我们本从不度规张量,从而只能使另外一样栽概念方式。
  另一方面,在风的Finsler微分几何中,我们可小心到以大老一近似Finsler流形上,连接两点之打平行曲线(即一般所说之“直线”)和连两碰的绝短缺曲线非常可能无是一致久直线,也就是说在Finsler流形上一般不设有“连接两触及最为差的是直线”这样的几乎哪直观和几哪经验。可使我们渴求及时点持续维持,会如何啊?
  要求立刻点持续维持,就等于是说要求由平行曲线必须是最值曲线,即下面两单方程必须以起:

Finsler几何当然不是二次型度量的,所以未能够一直用上述Clifford代数结构,从而传统的Finsler几何用如下形式的定义在节丛上之内积:

  这样,引入辅助0号齐次对称张量

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暨度量F是一样路齐次的,我们可给起联络:

但是这种概念之弱点,就是有限独流形上矢量的内积还取决于第三单矢量的大势(因为是概念在节丛上的),这点我吗是出硌反传统的。

越是,利用预设联络对V来说是线性的,引入上述辅助张量的迎接:

那,如果我们这边强行以Clifford型内积,会取得什么吗?

暨支援-1阶齐次张量:

极简单易行的,当然是一直利用如下形式之内积定义:

俺们可生:

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倘进一步考虑到这边矢量Vμ当方向有用不应显含其针对性坐标的微分,那么地方的结果可以应用Cμνλ的-1阶齐次的特色而博得结果:

但是,我们且知,Clifford型内积的象征其实为并无唯,比如下面就几乎只在二次型Q的情状下是相等价格的:

  可见,定义依赖让输运方向的线性的关联函数还是得建立之。
  这里,联络的率先有以及传统Riemann几何上的克氏副是同之,而第二片段被之-1阶齐次张量以Riemann几哪里中恒为零,从而是Finsler几哪上所特有的组成部分——这点在传统的Finsler几哪中吗是这么。
  更好玩的凡,由于-1阶齐次函数的性状,我们可知道就第二有其实可以随着上一个任意的参数n而无改结果,因此今挂钩事实上可以描绘为:

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这里的亚有的以款式上挺容易为丁回忆Riemann几哪里中之扰率,但本质上马上两者却是颇无雷同之,我们实际还足以引入一个单身的反倒对称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来当扰率存在而非影响结果。
  由于联系现在依让方向,从而联络对于输运方向一般是非线性。但对于输运的矢量却是线性的,从而这样的沟通可以本着各种张量定义(协变张量的协变微分这里都给起,而逆变张量的协变微分则可经对偶性得到)。而且,也出于联系对输运方向是非线性的,从而现在原生态地就算会见并发扰率(而不管需引入上述提及的反对称扰率张量):

而是对Finsler度量,上述几独姿态彼此之间是免抵的,有该对于一些Finsler度量,如果不饱大一流齐次,而是弱一路齐次,那么此时咱们来:

此后的含联络的一对更换给闹了扰率算符:

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  显然,现在扰率的产出是出于度量的势头依赖性而当然引入的,并不需要如Riemann几哪中那么样额外地给来和度规无关之不予称部分作为扰率。
  进一步我们得以定义Riemann曲率张量:

乃点式子中的矢量差有Q(u-v)就换得深微妙了,到底是u-v还是v-u?

进而有:

这里,我们引入第二只比方:Finsler的内积是非对易的。

可观看,现在原本是张量的扰率和曲率,现在且成为了张量性算符,即如果让有方向,便足以被来由当时点儿个样子所规定的一个矢量或者张量。
  如果我们来矣缩并算子,那么就是好运用Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符Rμ(Aμ),接着再下缩并算子来受出Ricci曲率标量。
  从样式达到吧,现在线性部分代表切丛纤维内的照耀,而作为函数参数的有数只方向虽一心是流形上之,从而将小小及底流形在样式达到加以了分。
  相比传统Finsler微分几哪,我们发现众多仗让第三方矢量而定义的曲率张量都流失了,比如Flag曲率等等。
  但也未克说啊收获都无,毕竟现在有着的几乎哪里都定义在切丛上,从而现在使开物理的话,意义呢就算又强烈了——我们以传统Finsler微分几何中连无确定这第三正矢量的大体意义是呀,只能吃出各种假定。

这就是说,现在,我们就是用如下形式之内积来谈谈:


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哦,大致就是整成这么了咔嚓。

以此内积的定义在L为黎曼型度量的时节自然回归至黎曼型内积,而在非黎曼型的Finsler度量下,则会给出不同的结果——特别是,如果Finsler度量具有强一路齐次性,那么这个内积是针对性如的;但只要一味发回老家一等级齐次性,那么这个内积非对如,非对如的有些可知晓为扰率。


脚我们之所以|V|来代表流形上矢量V在初始所说之Finsler型度量的黎曼部分作用下之长,从而对弱Finsler流形,上述内积可以让闹如下形式:

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来矣胸怀,我们可来拘禁流形上之极值曲线:


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与由平行曲线:

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内风偏导是针对坐标的偏导,而变分符号在这边代表针对矢量部分的偏导,联络函数对亚单变量是同样阶段齐次的。

要我们渴求极值曲线与自平行曲线在外动静下还当,那么就是得取联络的发挥:

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每当弱Finsler极限下就算发生(上标V表示是V的函数):

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其中

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就此就生出(注意对第二只参数的同级齐次要求):

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其中

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可见见,这么选择的联络函数,对于片个参数都是平等等级齐次的,算是一个可怜好之特性。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的设一味是均等路齐次,而对被输运矢量A确实线性的。

这形式当然是休唯一的,尤其对于一些量到底是选A还是V,其实生大酷的任意性。这里根本考虑的要关于第二单参数的一模一样阶段齐次要求,接着就是尽可能要为输运的矢量的图简单,从而一切的纷繁只体现于可行性的取舍上。

自打最后的发表来拘禁,联络函数的首先桩的率先部分是民俗黎曼引力项,第二件的首先有凡传统专业场项。第一起和第二宗之次片则还是引力与规范场的耦合项,且第一项的第二部分每当选取传统规范场形式的时候自动消失。

只要规范场的片,在给定速度之表达式中,我们好看粒子运动的切矢量的长短也常事反复还模为1,从而第一码是引力加速度,第二起是规范场导致的加快度,第三桩则是和速之老三等级项有关,从而会为有高效移动下的高能修正,因此而这模型是毋庸置疑的,那么我们得以预期在高能下会时有发生异之粒子行为。第四码在人情专业场下自动消失从而不考虑。

至于联络函数最后的片,则是一个非对称项,可以算得扰率,这里不考虑。

连下,让咱们讨论一个死有趣也异常有难度,同时为是一个实验性的话题:上述是流形上的曲率,是不怎么?

更进一步,曲率标量R现在凡啊?


由我们本收回了原本Finsler几哪定义在节丛上之度规张量,所以于怎么做内积是平等码特别麻烦办的从。

便我们可以通过最初步之措施定义两独矢量的内积,但对此再次常见的张量,恐怕是无力回天的。

呢者,这里我们运用如下方案:

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中曲面dΩ是流形上之单位球面,即指标球,而矢量n就是由球心指向单位球面的单位向量。

由此上述积分得到的标量T,在黎曼几乎何中同张量T对下标的缩并得到的标量之间,只差一个是因为流形维度决定的系数。

如我们以分子被积函数拓展为一个n阶张量和n个单位矢量构成的函数,那么这积分的表征,就是如果该数中涵盖奇数糟糕单单位矢量,那么是积分也0;如果带有偶数涂鸦单,那么会得到无零底结果,其中倘齐花样之第二坏显示可以被有张量的缩并。

假如以弱Finsler流形上,这个特性会有所不同:由于单位矢量被度量的h部分做了深化,从而来或会见在奇数不好项中养非零部分。

专程,当我们着想的凡正式场形的弱Finsler流形时,这种“激化”由正规矢量场A给起。

从而,如果我们以上述积分形式来当张量缩并的方案以来,那么我们不怕足以连续讨论在苟齐框架下的流形曲率的问题了。

为简单起见,我们本要上述弱Finsler流形的黎曼度量部分凡Minkowsky的,从而现在流形的联络函数可以描绘吧:

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兹我们着想交错协变微分(弱Finsler极限下):

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对接下去,对那考虑前面所说的积分。

首先,将U与A取为眼前所说的单位矢量做积分,接着又被结果与矢量V一起做缩并,就得获取如下结果:

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其中上标(1)的一些自场强H与一个单位矢量的并积分,上标(2)的部分自场强H与区区只单位矢量的共积分。

立东西是匪是看正在很酷熟悉?

咱俩拿标准矢量场A及其场强F代入:

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故,在作为作用量之早晚,在备空间积分并忽略边界项后只是得:

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乃看,和风俗习惯规范场的作用量就差一个经常反复系数,从而得以认为拥有规范场形式之弱Finsler流形当黎曼有为闵氏度量的早晚给来的哪怕是规范场。

当黎曼有未是闵氏度量时候,我们为堪开同的操作,此时会面收获黎曼部分对应之广义相对论的Ricci标量,上述标准场强,以及规范场部分与黎曼引力部分的耦合项。

只是,就同粒子运动有以飞状态下会和风俗习惯黎曼几哪里有反差一样,对于黎曼引力部分非也零星的动静,规范场和引力场的耦合的款型以及人情的悬殊,因此在高能情况下吧是足以印证的。


这里不可不使指出的一点是,上述计算是几乎沾十分无谨言慎行的地方。

一言九鼎就于缩并用的积分的计,这个匡以欧氏几哪上可为出所要之结果,在黎曼几乎哪里上吗得以,但对时空这种赝黎曼几何,则是是一个无穷大发散的,将之无穷大发散扣除后底有限部分,可以吃出所要的结果。

但是这种“正规化”为什么可以做,则止是一模一样种植随意的选取,目前并不知道什么依据——或许是由此Wick转动,从时空转动到欧氏空间,然后开积分,再变动回,这反是雅传统的量子场论中因故了的招。

一派,即便是黎曼几哪里上从不问题,这个积分当Finsler几哪下是否依旧成立,这就未亮堂了。当然,这里处理的是弱Finsler几哪里,所以可能还是实惠之吧。


末尾是部分座谈。

不怕和紧致化是对准蜷缩的额外维做展开后只有抱一阶项一样,这种弱Finsler几何的计吗是针对性Finsler度量做微扰后止得到展开的如出一辙阶项,两者在斯考虑齐是相同的,随后的异样就反映在弦论是针对性具有额外维的黎曼几何做拍卖,而Finsler几哪则是对准拥有非黎曼度量的四维Finsler时空做拍卖。

暨组成部分量子引力的门户(比如这次吴岳良院士所下的起郭汉英等老一辈我国物理学家开始便之所以底Lorentz群规范场的家)中将广义相对论中当流形联络的引力变为纤维主丛联络的点子不同,这里不再用外延几何转化为内涵几哪里,而是反过来,将原来用作内蕴的纤维丛性质的规范场视为外延的心胸上的Finsler型变化,从而是将内涵几何转化为外延几哪里。

弦论利用额外维来做这种由内而外的转,其实呢是一个想法。

理所当然了,至于最终能无克做成,这个另说,或许这个模型始终为不过是一个Toy罢了。

而且,这里时空的量似乎是定死的,完全无让带荷粒子所携带的力荷的熏陶,这种针对富有物质一视同仁的特征,显然会给出无带电粒子的行事也和带电粒子一样这种奇特的事情。因此,或许莫过于状况时空之量会随着以那个达到走的粒子的一点性能而变更,也或这个模型不过真的就特是一个Toy罢了——个人手上支持于后世。

并且,这里肯定被出了高能下截然不同的表现,这我便格外有挑战——因为简单的尝试大约就是能将这卖到底否掉了吧。

当为出格外有点好有点之可能,我们找到了合引力与规范场的框架,科科~


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