定积分除了总结面积外，还足以选拔在总计体积上。
定积分除了计算面积外，还是能利用在盘算容量上。
圆盘法
一条曲线y =
f(x)，借使曲线绕x轴旋转，则曲线经过的区域将形成二个橄榄球形状的体量，如下图所示：
曲线绕x轴旋转一周
以往要计算容量。大家如故遵照黎曼和切片的思绪去计算，只可是那回必要一些想象力。
将上图的矩形绕x轴旋转二十日将取得一个半径为y，中度为dx的圆盘：
矩形框绕x轴旋转七日
该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2，体量：
Δv ≈ S(x)Δx，假诺将总体图形的体量切成n个圆盘：
那便是圆盘法。
圆盘法
一条曲线y =
f(x)，假若曲线绕x轴旋转，则曲线经过的区域将形成三个橄榄球形状的体量，如下图所示：
曲线绕x轴旋转八日
今后要计算体量。我们照例遵照黎曼和切片的笔触去总计，只可是那回须求一些想象力。
将上海体育场所的矩形绕x轴旋转116日将获取1个半径为y，中度为dx的圆盘：
矩形框绕x轴旋转七天
该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2，体量：
Δv ≈ S(x)Δx，假使将总体图形的体量切成n个圆盘：
这正是圆盘法。
示例
求半径为a的球的体量。
通过球体的公式可知，V
=πa3(4/三)，固然大家不领会那几个公式，使用圆盘法求解。
先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上，在对圆的上半局地切割，旋转，如下图所示：
圆盘的底面积≈πy2dx，因而能够赢得球体体量：
还亟需将y转换为x。依据上航海用教室中圆的公式(x
– a)2 + y2 = a2，可得出y2 =
2ax – x2，于是：
实际上我们获取了更多的新闻，假使仅总结部分球体的容量，还能动用方面包车型地铁结论，仅改变积分上限即可，如下图所示：
实际上能够把V = π(ax2 –
x3/三)看作球体切片的公式。
示例
求半径为a的球的体积。
通过球体的公式可见，V
=πa3(4/三)，假使我们不知底那几个公式，使用圆盘法求解。
先将球体的最大横截面投影到直角坐标系上，在对圆的上半有的切割，旋转，如下图所示：
圆盘的底面积≈πy2dx，因而能够拿走球体体积：
还索要将y转换为x。依据上海体育场所中圆的公式(x
– a)2 + y2 = a2，可得出y2 =
2ax – x2，于是：
实际上大家赢得了更加多的音讯，如若仅总计部分球体的体量，依然可以使用方面包车型客车下结论，仅改变积分上限即可，如下图所示：
实际上能够把V = π(ax2 –
x3/三)看作球体切片的公式。
壳层法
假如坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2，深度是a，总括坩埚的体量。
计量坩埚的体量
我们还是能够使用圆盘法总计，那是这次是绕y轴转动：
圆盘法
圆盘的中度是Δy，所以必要将原函数转换到y关于x的函数，在正半轴上，x
= y1/2
对于本例来说，圆盘法没至极，借使曲线的公式再繁杂一点，就须要在反函数的更换上耗时，如若我们平素纵向切割，使用dx代替dy，就不必对原函数实行转换：
矩形绕y轴转动七日将赢得八个圆环，其厚度是dx，半径是x，中度是a
– x2，如下图所示：
假设展开圆环，将赢得1个底面积是圆环周长，中度是dx的长方体，其体量：
由此，坩埚的容量是：
壳层法
借使坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2，深度是a，总括坩埚的体积。
测算坩埚的体量
大家还是能行使圆盘法总计，那是这一次是绕y轴转动：
圆盘法
圆盘的莫斯中国科学技术大学学是Δy，所以须要将原函数转换来y关于x的函数，在正半轴上，x
= y1/2
对于本例来说，圆盘法没反常，要是曲线的公式再复杂一点，就供给在反函数的变换上耗时，尽管我们一向纵向切割，使用dx代替dy，就不用对原函数举办转移：
矩形绕y轴转动1十五日将赢得三个圆环，其厚度是dx，半径是x，中度是a
– x2，如下图所示：
如若展开圆环，将赢得三个底面积是圆环周长，低度是dx的长方体，其体量：
由此，坩埚的容量是：
单位发生的悖论
在测算坩埚的容积时，我们最后得到V =
πa2/二，假如坩埚深度是一m，代入公式获得π/二（m3）；今后将一m换来拾0cm，因为中度是相同的，所以大家盼望收获一致的结果，可是代入公式后，最后得到一千0π/贰（cm3）=
0.01π/2（m3）相差了拾0倍！那回有意思了。
难点出在哪呢？仔细调查最终结出的积分情势：
积分的上限是a1/2，11/2
= 1，1001/2 =
十，由此单位不一样将收获分歧的结果。实际上那个公式违背了百分比标准，将持不平日数学化的同时并从未设想到物医学中的量纲。那就好比重力加快度是9.八，但那个玖.8是有单位的，单位是米每贰遍方秒，假若长度单位使用分米，这些常数玖.8也亟需相应变更才能适用。
单位发出的悖论
在盘算坩埚的容量时，大家最终取得V =
πa2/2，即使坩埚深度是一m，代入公式得到π/二（m3）；今后将壹m换到100cm，因为高度是1样的，所以大家愿意获得壹致的结果，不过代入公式后，最后收获10000π/二（cm3）=
0.01π/2（m3）相差了100倍！这回有意思了。
难点出在哪吧？仔细调查最后结果的积分格局：
积分的上限是a1/2，11/2
= 1，1001/2 =
拾，因而单位差异将赢得差别的结果。实际上这几个公式违背了百分比标准，将具不经常数学化的同时并未设想到物医学中的量纲。那就好比引力加快度是玖.八，但这一个九.8是有单位的，单位是米每1次方秒，假设长度单位选取厘米，那一个常数9.八也亟需相应变更才能适用。
示例
示例
示例1
求y = 5和y=x2 +
一所围图形绕y轴转动后获取的体量。
用圆盘法总结，圆盘绕y轴转动，如下图所示：
示例1
求y = 5和y=x2 +
一所围图形绕y轴转动后收获的体量。
用圆盘法总括，圆盘绕y轴转动，如下图所示：
示例2
求x=4和y=x1/2，x轴所围图形绕x=六转悠后收获的体积。
本例依照壳层法总结，如下图所示：
壳层（或圆环）的高是x1/2，半径是6
– x，厚度是dx：
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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示例2
求x=4和y=x1/2，x轴所围图形绕x=陆旋转后获取的体积。
本例依照壳层法总括，如下图所示：
壳层（或圆环）的高是x1/2，半径是6
– x，厚度是dx：
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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