芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的,假定时空的胸襟具有如下Finsler方式

硕士最终的一年多间接在商讨的就是Finsler几何及其上的物理。
  然后就直接感觉那货就如很不直觉。。。
  最令人感觉难堪的,就是比较黎曼几何,芬斯勒几何中的内积不是概念在切丛上的,而是定义在节丛上的,这些很不自然。
  所以,就直接在考虑怎么从一种截然区其他角度来搞那一个题目。
  那就是一份有关的笔录。

过年在家,为了让这几个年有点年味,而且也为了回忆马上就要去北漂,所以打算做点东西,于是就有了那篇文章。


嗯,即使有好多划算,但宗旨如故一个脑洞,一个Toy Theory。

一经大家早就有了微分结构,但还没有度量结构。
  那么此时大家得以博得怎么样啊?
  协变矢量Vμ与逆变矢量Aμ毫无疑问是可以部分,所以大家可以取得各个逆变协变以及混合张量。我们也照例有协变基矢和逆变基矢的对仗关系niμnjμij
  由于协变矢量与逆变矢量的对偶性,我们能够认为它们只是是同一个事物的三种分歧表明,所以不妨就用“矢量”来代替。
  矢量在切空间中的表示就是协变矢量,而在余切空间中的表示就是逆变矢量。
  在唯有微分结构为没有度量结构的时候,大家仍能定义一种“场”,便是在每一点上都得以将TM(m,
n)中的元素映射到TM(p,
q)中,即可以将一个m阶协变n阶逆变的张量映射到一个p阶协变q阶逆变的张量,或者采用之前的双双之后的视角来说,便是将一个m+n阶张量映射为一个p+q维张量。
  在坐标变换下,上述情节都足以具有无可争执的变换规则而不会挑起歧义。
  但,相比较有意思的是只假诺非坐标变换,比如对已一般的映射F:
TM(1)→TM(1),似乎就很难推广到任意的TM(m, n)→TM(p,
q)上,除非映射是线性映射,那么可以在操作意义上找到合理的外推。


上面,在如此的空间上引入度量结构,且不须要该度量是黎曼的,从而可以是芬斯勒度量。

设若时空的胸怀具有如下Finsler格局:

心胸和内积的涉嫌是优良有趣的。
  可以说,内积包涵了胸怀,因为矢量Vμ与自身的内积就是它的模长的平方,那是内积与胸襟的契合点:〈Vμ,
Vμ〉=|Vμ|2
  在传统的Finsler几何中,从度量到内积的取得方式是这么的:

图片 1

  对于黎曼度量,上市左边的度规张量只是地点xμ的函数,从而和矢量yμ毫无干系,因而流形切空间中矢量的内积只和切空间所在地方的度规张量相关,也就是说内积是概念在切丛上的。
  但在Finsler几何中,左侧的度规张量不但和地方xμ连带,还与矢量yμ有关,从而现在矢量之间的内积不但和参加内积的八个矢量以及切空间所在地方相关,还与某个第三方的矢量相关,从而内积是概念在其节丛上的,而非切丛。
  通过简单的推理大家可以领略,如果要保险传统内积的概念,那么只可以将内积放到节丛上,从而此题材不可能避免。
  但,内积的定义自己是从经验中得来的,而原来的经历中定义在切丛依然节丛上并不曾确定性的求证,纵然涉世中都是概念在切丛而非节丛上的,所以我们可以适当地舍弃某些既定经验,越发是不曾写小说的阅历,来布局一个概念在节丛上的内积。
  可,反过来说,大家也可以舍弃一些既定的小说经验,从而选拔另一条路。
  这么一来,问题就很风趣了——假定内积不是对称的,会怎么?

里头第一片段是价值观的黎曼型度量,后者为对黎曼型度量的距离,从而组合Finsler度量。

从纯几何直观来说,内积能够被发布为那样一个东西:
  矢量V1μ在矢量V2μ大势上的黑影长度与V2μ长度的积,就是V1μ和V2μ的内积。
  选用那几个几何直观的概念,在黎曼几何中,大家不难声明V1μ到V2μ的内积和V2μ到V1μ的内积是平等的,从而内积是对称的。
  但,在Finsler几何下,那种对称性就被打破了:

如此这般的Finsler度量一般的话是很难直接求解的,于是大家那里假定:h相当小,从而具有高阶项都得以忽略

  在这一个定义中,“投影”被定义为从V2μ的端点到V1μ上某一点的离开最短,则该点就是V2μ到V1μ的影子地方。值得注意的是,对于最一般化的Finsler流形,上述的自由化即使反过来的话,将付诸截然不一致的概念结果,因为在最一般化的Finsler度量中,并不要求如下等式的树立:

那样的话,会为总结带来一定的有利,比如度量的平方(那么些在Finsler几何中比度量本身更常用):

  当然,大家还足以采纳将上述定义做一个“代数化”,考虑一个海阔天空小变化,从而V1μ变化到V2μ=V1μ+dVμ,那么此时上述内积的定义在无限小范围内得以被发挥为越来越简明的花样:

图片 2

在Riemann几何中,上述两种格局的概念是等价的。
  如上定义后,我们本来就获取了从V1μ到V2μ的内积的定义,且那样定义的内积尽管是非对称的,但却符合几何直观——即使几何直观那么些须求在真正的几何学看来是一个谣言,但自己个人觉得比将内积从切丛搬到节丛要可相信。
  现在内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的映照(并非从TM(2)→TM(0)的照耀),并记为〈V1μ,
V2μ〉。那样的内积不满意对称性,而且一般也不满足双线性,因为它是可观方向依赖的——那也是Finsler几何和Riemann几何最大的分裂,Riemann几何从能够在一部分通过坐标变换来成为Minkowski几何,后者是来势非亲非故的。但非Riemann的Finsler几何无论怎么着都不容许通过坐标变换变成Minkowski几何,从而也就必定是主旋律依赖的了——在传统Finsler微分流形中,那种动向看重性展示在内积被定义在节丛上,从而我们一直都须要一个第三方矢量来作为“看重方向”,而方今那种倾向依赖性显示在内积算符的非对称与非双线性上。


在此基础上,大家本来能够在余切丛上也定义内积,只要通过协变矢量与逆变矢量的对偶性即可。
  可是由于内积本身强烈看重于矢量,从而对于张量来说就不存在内积的合理性外推。
  事实上,在Riemann几何中,内积原本是概念在TM(1)×TM(1)上的,但出于其将内积外推到了度规张量,后者的意义远较“内积”本身宽泛与增加,从而使得TM(m)→TM(m-2)的投射成为可能。
  因而,度规本身是一个比内积具有更丰盛内涵的几何实体。
  而现在,大家有着的只是是一个二目算符〈,〉:
TM(1)×TM(1)→TM(0),从而并不可能做这么简约的外推,因为那一个算符既然不满意线性要求,那就无法透过不难的空中直积来得到推广。
  为此,对于张量的“缩并”(原意是TM(m, n)指定五个目的缩并以得到TM(m-1,
n-1),那里给予了进展)必须使用和内积不相同的定义格局,并确保在回到Riemann几何后得未来退到Riemann几何的结果。
  对如此的“缩并”方今个人觉得相比适合的是透过对目的球的积分来收获,只但是对于积分体元来说,就像是还一向不交到一个较好的定义。
  很明确,在继内积失去对称与双线性那多少个第一特征后,度规张量也错过了概念,而缩并也就与内积南辕北撤了。那里充满了种种陷阱,每一个都很有可能是的那种内积的概念方式失效,从而只能够回去将内积定义在节丛从而继续维持对称性与双线性的独到之处但还要不得不引入第三方矢量的短处,这些Finsler微分流形的老路上来。

下一场,大家来看柯利弗(Cliff)ord代数中的一个性质:

有了内积后,大家当然要问这么一个题目:现在的联络是什么样?
  所谓联络,是将某点切空间中的矢量输运到邻点切空间中的一个辉映,从而得以被那样标记:

图片 3

  大家可以更进一步认为关系对切空间中的矢量来说是线性的,从而就有:

那边Q是一个二次型,且不难看到它就是胸襟的平方(假定柯利弗(Cliff)ord代数定义在一个独具度量结构的几何流形上)。

  在怎么着规定联络的现实性格局方面,Riemann几何拔取的适配条件是对度规张量的协变微分为零。可我们现在从未度规张量,从而只好使用另一种概念格局。
  另一方面,在观念的Finsler微分几何中,大家可以小心到在很大一类Finsler流形上,连接两点的自平行曲线(即平常所说的“直线”)和连接两点的最短曲线很可能不是同样条直线,也就是说在Finsler流形上相似不存在“连接两点最短的是直线”那样的几何直观与几何经验。可若是大家要求那点持续有限援救,会如何呢?
  必要那点持续维持,就等于是说需求自平行曲线必须是极值曲线,即上边七个方程必须同时建立:

Finsler几何当然不是二次型度量的,所以不可以一贯动用上述柯利弗(Cliff)ord代数结构,从而传统的Finsler几何采取如下方式的定义在节丛上的内积:

  那样,引入援救0阶齐次对称张量

图片 4

以及度量F是一阶齐次的,大家可以付出联络:

但那种概念的弱点,就是五个流形上矢量的内积还取决于第两个矢量的自由化(因为是概念在节丛上的),那点自己也是有点反传统的。

越来越,利用预设联络对V来说是线性的,引入上述协助张量的逆:

那么,假诺大家那边强行使用柯利弗(Cliff)ord型内积,会博得怎样吗?

以及支援-1阶齐次张量:

最不难易行的,当然是直接使用如下格局的内积定义:

俺们可以有:

图片 5

万一越来越考虑到这里矢量Vμ作为方向存在从而不应该显含其对坐标的微分,那么地方的结果可以使用Cμνλ的-1阶齐次的特性而得到结果:

但,我们都通晓,柯利弗(Cliff)ord型内积的象征其实也并不唯一,比如下边这多少个在二次型Q的意况下是等价的:

  可知,定义器重于输运方向的线性的维系函数照旧得以成立的。
  这里,联络的第一有些和观念Riemann几何上的克氏符是同样的,而第二有的中的-1阶齐次张量在Riemann几何中恒为零,从而是Finsler几何上所特有的局地——那一点在观念的Finsler几何中也是那样。
  更有趣的是,由于-1阶齐次函数的特色,大家得以清楚那第二部分其实可以乘上一个肆意的参数n而不更改结果,由此现在挂钩事实上可以写为:

图片 6

那边的第二有的在样式上很简单令人纪念Riemann几何中的扰率,但精神上这两边却是很分裂的,大家实际仍是可以引入一个独自的不予称张量Tμνλ与Vμ的积TμνλVλ来作为扰率存在而不影响结果。
  由于联系现在凭借于方向,从而联络对于输运方向一般是非线性。但对此输运的矢量却是线性的,从而那样的维系可以对种种张量定义(协变张量的协变微分那里一度交付,而逆变张量的协变微分则可以通过对偶性获得)。而且,也鉴于联系对输运方向是非线性的,从而现在自发地就会现出扰率(而无需引入上述提及的不予称扰率张量):

但对此Finsler度量,上述多少个姿态相互之间是不等价的,有其对于某些Finsler度量,借使不满足强一阶齐次,而是弱一阶齐次,那么此时大家有:

那边前边的盈盈联络的一部分变给出了扰率算符:

图片 7

  鲜明,现在扰率的产出是出于度量的主旋律重视性而本来引入的,并不要求如Riemann几何中那样额外地给出与度规无关的不予称部分作为扰率。
  进一步大家可以定义Riemann曲率张量:

于是上面式子中的矢量差部分Q(u-v)就变得很玄妙了,到底是u-v仍然v-u?

进而有:

这边,大家引入第一个假如:Finsler的内积是非对易的。

可以看到,现在本来是张量的扰率和曲率,现在都成了张量性算符,即假诺付出方向,便可以付出由那多个方向所确定的一个矢量或者张量。
  要是大家有了缩并算子,那么就足以使用Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符Rμ(Aμ),接着再选择缩并算子来给出Ricci曲率标量。
  从样式上的话,现在线性部分代表切丛纤维之间的投射,而作为函数参数的七个样子则一心是流形上的,从而将小小和底流形在方式上加以了不同。
  相比较传统Finsler微分几何,我们发现众多依赖于第三方矢量而定义的曲率张量都石沉大海了,比如Flag曲率等等。
  但也不可以说怎么收获都尚未,毕竟现在有所的几何都定义在切丛上,从而现在一经做物理的话,意义也就更强烈了——我们在传统Finsler微分几何中并不确定那第三方矢量的情理意义是哪些,只可以交给各个假定。

那就是说,现在,大家就采用如下形式的内积来探究:


图片 8

哦,几乎就打点成那样了呢。

其一内积的概念在L为黎曼型度量的时候自然回归到黎曼型内积,而在非黎曼型的Finsler度量下,则能交到区其余结果——尤其是,要是Finsler度量具有强一阶齐次性,那么那些内积是对称的;但即便唯有弱一阶齐次性,那么那一个内积非对称,非对称的有的可以清楚为扰率。


下边大家用|V|来代表流形上矢量V在始发所说的Finsler型度量的黎曼部分功用下的长度,从而对于弱Finsler流形,上述内积可以交给如下格局:

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4.0研究
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有了胸怀,大家可以来看流形上的极值曲线:


图片 10

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以及自平行曲线:

图片 11

里头传统偏导是对坐标的偏导,而变分符号在此地表示对矢量部分的偏导,联络函数对第四个变量是一阶齐次的。

要是大家渴求极值曲线与自平行曲线在其他动静下都等于,那么就可以获得联络的发挥:

图片 12

在弱Finsler极限下就有(上标V表示是V的函数):

图片 13

其中

图片 14

故而就有(注意对首个参数的一阶齐次要求):

图片 15

其中

图片 16

可以见见,这么拔取的联系函数,对于三个参数都是一阶齐次的,算是一个很好的性质。更距离的话,对于方向矢量V不是线性的而只是一阶齐次,而对于被输运矢量A确实线性的。

其一方式当然是非唯一的,尤其对于一些量到底是选A如故V,其实有很大的任意性。那里最首要考虑的照旧关于第一个参数的一阶齐次必要,接着就是尽可能使被输运的矢量的成效简单,从而一切的复杂只显示在可行性的选项上。

从最后的发挥来看,联络函数的率先项的率先部分是传统黎曼动力项,第二项的首先有些是观念专业场项。第一项与第二项的第二有的则都是引力与规范场的耦合项,且第一项的第二局地在接纳传统规范场方式的时候自动消失。

而规范场的一对,在加快度的表达式中,大家可以认为粒子运动的切矢量的长度为常数且模为1,从而第一项是引力加快度,第二项是规范场导致的增速度,第三项则是和速度的三阶项有关,从而会付给高速运动下的高能改正,因而只要这几个模型是毋庸置疑的,那么大家得以预料在高能下会有两样的粒子行为。第四项在价值观专业场下自动消失从而不考虑。

关于联络函数最后的局地,则是一个非对称项,可以说是扰率,这里不考虑。

接下去,让我们谈谈一个很有意思也很有难度,同时也是一个实验性的话题:上述这么些流形上的曲率,是多少?

尤其,曲率标量R现在是何等?


由于我们现在收回了原本Finsler几何定义在节丛上的度规张量,所以对于哪些做内积是一件很难办的事。

就是我们可以透过最开端的格局定义多个矢量的内积,但对此更平凡的张量,恐怕是力不从心的。

为此,那里大家利用如下方案:

图片 17

其间曲面dΩ是流形上的单位球面,即目的球,而矢量n就是从球心指向单位球面的单位向量。

经过上述积分得到的标量T,在黎曼几何中与张量T对下标的缩并获得的标量之间,只差一个由流形维度决定的周全。

只要我们将分子被积函数拓展为一个n阶张量与n个单位矢量构成的函数,那么那一个积分的特点,就是一旦该数中含有奇多次个单位矢量,那么那么些积分为0;倘若带有偶数十次个,那么会赢得非零的结果,其中如上花样的二次形可以交给张量的缩并。

而在弱Finsler流形上,这些特性会迥然不一致:由于单位矢量被度量的h部分做了强化,从而有可能会在奇多次项中留下非零部分。

专门,当大家着想的是正式场形的弱Finsler流形时,那种“激化”由标准矢量场A给出。

由此,假如大家采用上述积分方式来作为张量缩并的方案以来,那么我们就可以继承探讨在如上框架下的流形曲率的题目了。

为了不难起见,大家后日只要上述弱Finsler流形的黎曼度量部分是Minkowsky的,从而现在流形的维系函数可以写为:

图片 18

前些天我们着想交错协变微分(弱Finsler极限下):

图片 19

接下去,对其考虑后边所说的积分。

第一,将U与A取为眼前所说的单位矢量做积分,接着再给结果和矢量V一起做缩并,就足以获取如下结果:

图片 20

里面上标(1)的有些来自场强H与一个单位矢量的一路积分,上标(2)的有的来自场强H与八个单位矢量的联合积分。

这东西是否望着老大充裕熟悉?

大家将正式矢量场A及其场强F代入:

图片 21

所以,在作为职能量的时候,在全空间积分并忽略边界项后可得:

图片 22

您看,和历史观规范场的功用量就差一个常数周详,从而可以认为拥有规范场格局的弱Finsler流形当黎曼部分为闵氏度量的时候给出的就是规范场。

当黎曼部分不是闵氏度量时候,大家也足以做相同的操作,此时会收获黎曼部分对应的广义相对论的Ricci标量,上述标准场强,以及规范场部分与黎曼引力部分的耦合项。

但,就和粒子运动部分在便捷状态下会和价值观黎曼几何有反差一样,对于黎曼动力部分不为零的情况,规范场和引力场的耦合的款式和观念的截然分歧,由此在高能情形下也是足以注脚的。


此间不可不要提议的一点是,上述总计存在几点很不胆战心惊的地方。

要害就是对于缩并用的积分的持筹握算,那一个总结在欧氏几何上得以给出所要的结果,在黎曼几何上也得以,但对此时空那种赝黎曼几何,则是存在一个无穷大发散的,将那个无穷大发散扣除后的星星点点部分,可以给出所要的结果。

但那种“正规化”为何可以做,则仅仅是一种随意的选项,近年来并不知道什么依照——或许是透过Wick转动,从时空转动到欧氏空间,然后做积分,再转回来,那倒是很传统的量子场论中用过的一手。

一边,即使是黎曼几何上没问题,那个积分在Finsler几何下是还是不是如故创设,这就不了然了。当然,那里处理的是弱Finsler几何,所以可能依然管用的吗。


末尾是有的谈谈。

就和紧致化是对蜷缩的额外维做展开后只取一阶项一样,那种弱Finsler几何的措施也是对Finsler度量做微扰后只取展开的一阶项,两者在这些思想上是如出一辙的,随后的出入就反映在弦论是本着富有额外维的黎曼几何做拍卖,而Finsler几何则是对负有非黎曼度量的四维Finsler时空做处理。

和部分量子引力的门户(比如本次吴岳良院士所利用的从郭汉英等长辈我国地教育学家开首就是用的Lorentz群规范场的帮派)中将广义相对论中作为流形联络的动力变为纤维主丛联络的方法分化,这里不再将外延几何转化为内涵几何,而是反过来,将原来用作内蕴的纤维丛性质的规范场视为外延的襟怀上的Finsler型变化,从而是将内涵几何转化为外延几何。

弦论利用额外维来做那种由内而外的转移,其实也是一个设法。

理所当然了,至于最终能不可能做成,那些另说,或许那一个模型始终也不过是一个Toy罢了。

并且,那里时空的襟怀如同是定死的,完全不受带荷粒子所带领的力荷的影响,这种对具有物质人己一视的特性,显著会付给不带电粒子的一颦一笑也和带电粒子一样那种奇特的事情。因而,或许莫过于意况时空的心路会随着在其上活动的粒子的一些性能而改变,也仍旧那么些模型然则实在就只是一个Toy罢了——个人近来辅助于后者。

而且,那里肯定给出了高能下截然不一致的一坐一起,那本身就很有挑衅——因为简单的试行大约就能把那货到底否掉了吗。

本来也有很小很小的可能,大家找到了合并动力与规范场的框架,科科~


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