尚得采取在计算体积上。还好使用在盘算体积上。

  定积分除了计算面积外,还足以采用在测算体积上。

  定积分除了计算面积外,还好行使在算体积上。

圆盘法

  一长条曲线y =
f(x),如果曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的体积,如下图所示:

图片 1

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曲线绕x轴旋转一全面

  现在要是算体积。我们照例按照黎曼与片的思路去算,只不过这回用一些想象力。

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  将直达图的矩形绕x轴旋转一健全将获一个半径为y,高度为dx的圆盘:

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矩形框绕x轴旋转一完美

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体积:
Δv ≈ S(x)Δx,如果以不折不扣图形的体积切成n个圆盘:

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  这即是圆盘法。

圆盘法

  一漫长曲线y =
f(x),如果曲线绕x轴旋转,则曲线经过的区域将形成一个橄榄球形状的体积,如下图所示:

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曲线绕x轴旋转一完善

  现在一旦算体积。我们依旧按照黎曼与片的笔触去算,只不过这拨用一些想象力。

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  将齐图的矩形绕x轴旋转一周将获一个半径为y,高度也dx的圆盘:

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矩形框绕x轴旋转一到家

  该圆盘的面积S(x)≈π(f(x))2,体积:
Δv ≈ S(x)Δx,如果以一切图形的体积切成n个圆盘:

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  这就是圆盘法。

示例

  求半径为a之球的体积。

  通过球体的公式可知,V
=πa3(4/3),假要我们不晓此公式,使用圆盘法求解。

  先以球的最好酷横截面投影到直角坐标系上,在对周之达成半部分切割,旋转,如下图所示:

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  圆盘的底面积≈πy2dx,由这可以赢得球体体积:

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  还待用y转换为x。根据达图备受完善之公式(x
– a)2 + y2 = a2,可得出y2 =
2ax – x2,于是:

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  实际上我们获得了更多的音讯,如果单独计算部分球体的体积,依然可以方面的结论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

图片 14

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  实际上可以拿V = π(ax2
x3/3)看作球体切片的公式。

示例

  求半径为a底圆球的体积。

  通过球体的公式可知,V
=πa3(4/3),假而我们无明白这个公式,使用圆盘法求解。

  先以球的卓绝酷横截面投影到直角坐标系上,在对宏观之达半有切割,旋转,如下图所示:

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  圆盘的底面积≈πy2dx,由是可以获取球体体积:

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  还需用y转换为x。根据达图被全面之公式(x
– a)2 + y2 = a2,可得出y2 =
2ax – x2,于是:

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  实际上我们收获了双重多的信,如果一味计算部分球体的体积,依然可以使用方面的定论,仅改变积分上限即可,如下图所示:

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  实际上可以拿V = π(ax2
x3/3)看作球体切片的公式。

壳层法

  假设坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2,深度是a,计算坩埚的容积。

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计坩埚的容积

  我们依然可以下圆盘法计算,这是这次是绕y轴转动:

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圆盘法

  圆盘的莫大是Δy,所以要用原本函数转换成为y关于x的函数,在刚刚半轴上,x
= y1/2

图片 23

  对于本例来说,圆盘法没有问题,如果曲线之公式再繁杂一点,就得在反函数的转移上吃时间,如果我们一直纵向切割,使用dx代替dy,就不必对原函数进行转移:

图片 24

  矩形绕y轴转动一周到将沾一个圆环,其厚度是dx,半径是x,高度是a
– x2,如下图所示:

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  如果展开圆环,将赢得一个的面积是到环周长,高度是dx的长方体,其体积:

图片 26

  由此,坩埚的容积是:

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壳层法

  假设坩埚内壁的横截面曲线是y =
x2,深度是a,计算坩埚的容积。

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计算坩埚的容积

  我们照例可以利用圆盘法计算,这是这次是绕y轴转动:

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圆盘法

  圆盘的万丈是Δy,所以用拿本来函数转换成为y关于x的函数,在刚半轴上,x
= y1/2

图片 30

  对于本例来说,圆盘法没有问题,如果曲线之公式再复杂一点,就用在反函数的更换上淘时间,如果我们直接纵向切割,使用dx代替dy,就无须对原函数进行更换:

图片 31

  矩形绕y轴转动一两全将抱一个圆环,其厚度是dx,半径是x,高度是a
– x2,如下图所示:

图片 32

  如果进展圆环,将获得一个之面积是圆环周长,高度是dx的长方体,其体积:

图片 33

  由此,坩埚的容积是:

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单位发的悖论

  在测算坩埚的容积时,我们最后得到V =
πa2/2,如果坩埚深度是1m,代入公式得到π/2(m3);现在以1m换成100cm,因为高度是均等的,所以我们想得到一致的结果,但是代入公式后,最终获得10000π/2(cm3)=
0.01π/2(m3)相差了100加倍!这拨有意思了。

  问题有在哪呢?仔细察看最终结果的积分形式:

图片 35

  积分的上限是a1/2,11/2
= 1,1001/2 =
10,因此单位不同将取不同的结果。实际上是公式违背了百分比标准,将有题目数学化的以并从未考虑到物理学中之量纲。这即好比重力加速度是9.8,但以此9.8凡是生单位之,单位凡米每二涂鸦方秒,如果长单位采取厘米,这个时反复9.8也待相应变更才会适用。

单位发生的悖论

  以盘算坩埚的容积时,我们最后赢得V =
πa2/2,如果坩埚深度是1m,代入公式得到π/2(m3);现在用1m换成100cm,因为高度是同的,所以我们期待收获相同的结果,但是代入公式后,最终赢得10000π/2(cm3)=
0.01π/2(m3)相差了100倍增!这回有意思了。

  问题发生以啊也?仔细观察最终结出的积分形式:

图片 36

  积分的上限是a1/2,11/2
= 1,1001/2 =
10,因此单位不同将收获不同之结果。实际上这公式违背了百分比标准,将富有问题数学化的又并不曾设想到物理学中的量纲。这就是好比重力加速度是9.8,但这个9.8是有单位的,单位是米每二赖方秒,如果长单位以厘米,这个时反复9.8吗急需相应变更才能够适用。

示例

示例

示例1

  求y = 5和y=x2 +
1所环绕图形绕y轴转动后获取的体积。

  用圆盘法计算,圆盘绕y轴转动,如下图所示:

图片 37

图片 38

示例1

  求y = 5和y=x2 +
1所围图形绕y轴转动后取得的体积。

  用圆盘法计算,圆盘绕y轴转动,如下图所示:

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示例2

  求x=4和y=x1/2,x轴所围图形绕x=6转悠后收获的体积。

图片 41

  本例根据壳层法计算,如下图所示:

图片 42

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6
– x,厚度是dx:

图片 43

 


  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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示例2

  求x=4和y=x1/2,x轴所围图形绕x=6筋斗后取的体积。

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  本例根据壳层法计算,如下图所示:

图片 45

  壳层(或圆环)的高是x1/2,半径是6
– x,厚度是dx:

图片 46

 


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